Спрос на морковный сок имеет вид Qd = 10 - р, а предложение морковного сока задаётся функцией Qs = 2p - 4 - с ( Qd и Qs - величины спроса и предложения, литров сока; р - цена одного литра в д.е., с - цена одного килограмма моркови в д.е., на неё не влияют производители сока). При какой цене моркови в д.е. выручка производителей морковного сока в равновесии будет максимальной?
Для решения задачи найдем равновесную цену и количество морковного сока, а затем определим, при какой цене моркови выручка производителей будет максимальной.
Установим равновесие: в точке равновесия величина спроса равна величине предложения (Qd = Qs).
Подставим уравнения спроса и предложения:
\( 10 - p = 2p - 4 - c \)
Перепишем это уравнение:
\( 10 + 4 + c = 2p + p \)
То есть:
\( 14 + c = 3p \)
Теперь выразим цену p:
\( p = \frac{14 + c}{3} \)
Определим равновесное количество: подставим найденное значение p в одно из уравнений, например, в Qd:
\( Qd = 10 - \frac{14 + c}{3} \)
Упростим это уравнение:
\( Qd = \frac{30 - (14 + c)}{3} = \frac{16 - c}{3} \)
Таким образом, равновесное количество морковного сока:
\( Q = \frac{16 - c}{3} \)
Определим выручку: выручка (R) производителей будет равна цене на единицу (p) умноженной на количество морковного сока (Q):
\( R = p \cdot Q \)
Подставим значения p и Q:
\( R = \left(\frac{14 + c}{3}\right) \cdot \left(\frac{16 - c}{3}\right) \)
Упростим данное выражение:
\( R = \frac{(14 + c)(16 - c)}{9} \)
Максимизация выручки: для нахождения максимума функции выручки необходимо произвести дифференцирование и приравнять производную к нулю.
\( R(c) = \frac{224 - 14c + 16c - c^2}{9} = \frac{224 + 2c - c^2}{9} \)
Теперь найдем производную:
\( R'(c) = \frac{1}{9}(-2c + 2) \)
Приравняем производную к нулю:
\( -2c + 2 = 0 \)
\( c = 1 \)
Проверка условий: можно также проверить, что это действительно максимум, посчитав вторую производную.
Таким образом, цена моркови, при которой выручка производителей морковного сока в равновесии будет максимальной, составляет 1 д.е.
