У Андрюши есть 10 000 рублей. Ему доступны два вклада: вклад А со сложным процентом и вклад В с простым процентом, равным 12,72%, каждый сроком на два года. Найдите, чему должен быть равен сложный процент, чтобы сумма на вкладе А в конце срока была равна сумме на вкладе В. Ответ дайте в процентах.
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с формулами для расчета сумм по вкладам с простыми и сложными процентами.
- Сумма на вкладе В с простыми процентами:
Формула для расчета суммы по вкладу с простыми процентами выглядит так: \[ S = P \cdot (1 + rt) \] где:
- \( S \) — конечная сумма,
- \( P \) — первоначальная сумма (10,000 рублей),
- \( r \) — годовая ставка (в данном случае 12,72% или 0,1272 в десятичной форме),
- \( t \) — срок вклада в годах (2 года).
Подставим значения: \[ S_V = 10,000 \cdot (1 + 0,1272 \cdot 2) \] \[ S_V = 10,000 \cdot (1 + 0,2544) \] \[ S_V = 10,000 \cdot 1,2544 = 12,544 \text{ рублей} \]
- Сумма на вкладе А со сложными процентами:
Формула для расчета суммы по вкладу со сложными процентами: \[ S = P \cdot (1 + r)^t \] где \( r \) — годовая ставка по сложным процентам, которую нам нужно найти.
Подставим наши значения: \[ S_A = 10,000 \cdot (1 + r)^2 \]
Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить: \[ S_A = S_V \] \[ 10,000 \cdot (1 + r)^2 = 12,544 \]
Разделим обе стороны на 10,000: \[ (1 + r)^2 = 1.2544 \]
Теперь извлечем квадратный корень: \[ 1 + r = \sqrt{1.2544} \] \[ 1 + r \approx 1.12 \]
Выразим \( r \): \[ r \approx 1.12 - 1 = 0.12 \]
В процентном выражении это: \[ r \approx 0.12 \cdot 100\% = 12\% \]
Таким образом, сложная процентная ставка, чтобы сумма на вкладе А была равна сумме на вкладе В, должна составлять 12%.
