280. В ящике находится 20 деталей, среди которых 4 бракованных. Из него вынимают 4 детали. С какой вероятностью: а) все они будут исправные; б) все они будут бракованые; в) хотя бы одна из них будет бракованная; г) будет поровну исправных и бракованных?
Для решения этой задачи будем использовать комбинаторику и понятие вероятности.
Обозначим:
- \( N = 20 \) — общее количество деталей,
- \( K = 4 \) — количество бракованных деталей,
- \( N - K = 16 \) — количество исправных деталей.
Общее количество способов выбрать 4 детали из 20:
\[ C(N, 4) = C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845. \]
Теперь решим каждую часть задачи:
а) Вероятность того, что все 4 детали будут исправные:
\[ C(16, 4) = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820. \]
Вероятность:
\[ P(\text{все исправные}) = \frac{C(16, 4)}{C(20, 4)} = \frac{1820}{4845} \approx 0.375. \]
б) Вероятность того, что все 4 детали будут бракованные:
\[ C(4, 4) = 1. \]
Вероятность:
\[ P(\text{все бракованные}) = \frac{C(4, 4)}{C(20, 4)} = \frac{1}{4845} \approx 0.000206. \]
в) Вероятность того, что хотя бы одна из 4 деталей будет бракованной. Эта вероятность равна 1 минус вероятность того, что все детали исправные:
\[ P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - P(\text{все исправные}) = 1 - \frac{1820}{4845} \approx 0.625. \]
г) Вероятность того, что будет поровну исправных и бракованных (т.е. 2 исправные и 2 бракованные):
\[ C(16, 2) \cdot C(4, 2) = \left( \frac{16!}{2!(16-2)!} \right) \cdot \left( \frac{4!}{2!(4-2)!} \right). \]
Вычисляем:
\[ C(16, 2) = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120, \] \[ C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6. \]
Итак, общее количество способов:
\[ C(16, 2) \cdot C(4, 2) = 120 \cdot 6 = 720. \]
Вероятность:
\[ P(\text{поровну исправных и бракованных}) = \frac{720}{4845} \approx 0.1485. \]
Таким образом, результаты: а) ≈ 0.375, б) ≈ 0.000206, в) ≈ 0.625, г) ≈ 0.1485.
