Иррациональные уравнения решения x+1=√1-x

Чтобы решить уравнение \( x + 1 = \sqrt{1 - x} \), следуем этим шагам:

1. Изолируем корень: У нас уже есть корень на одной стороне уравнения.

2. Возводим обе стороны в квадрат: Это устраняет корень, но нужно быть осторожным с возможными лишними корнями. \[ (x + 1)^2 = ( \sqrt{1 - x})^2 \] Это упрощается до: \[ x^2 + 2x + 1 = 1 - x \]

3. Приводим уравнение к стандартному виду: Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 + 2x + 1 + x - 1 = 0 \] Упрощаем: \[ x^2 + 3x = 0 \]

4. Факторизуем уравнение: Выносим \( x \) за скобки: \[ x(x + 3) = 0 \]

5. Находим корни: Это уравнение равно нулю, когда: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \]

6. Проверяем корни: Подставим найденные значения обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они действительно являются решениями.

   • Для \( x = 0 \): \[ 0 + 1 = \sqrt{1 - 0} \Rightarrow 1 = 1 \quad \text{(верно)} \]

   • Для \( x = -3 \): \[ -3 + 1 = \sqrt{1 - (-3)} \Rightarrow -2 = \sqrt{4} \Rightarrow -2 \neq 2 \quad \text{(неверно)} \]

7. Итог: Единственное решение уравнения \( x + 1 = \sqrt{1 - x} \) — это \( x = 0 \).