иррациональные уравнения решения x=1+√x+11
Для решения уравнения \( x = 1 + \sqrt{x} + 11 \) начнём с упрощения уравнения.
Сначала перенесём все члены на одну сторону:
\[ x - \sqrt{x} - 12 = 0 \]
Теперь давайте заменим \(\sqrt{x}\) на \(y\). Это позволит нам записать уравнение как:
\[ y^2 - y - 12 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Дискриминант положительный, что значит, уравнение имеет два различных корня. Находим корни по формуле:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2} \]
Таким образом, у нас есть два решения:
- \( y = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( y = \frac{-6}{2} = -3 \)
Но поскольку \( y = \sqrt{x} \), и корень не может быть отрицательным, мы отбрасываем \( y = -3 \). Остаётся только:
\[ y = 4 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16 \]
Теперь проверим, подходит ли найденное значение \( x \) к оригинальному уравнению:
\[ 16 = 1 + \sqrt{16} + 11 \] \[ 16 = 1 + 4 + 11 \] \[ 16 = 16 \]
Таким образом, решение уравнения \( x = 1 + \sqrt{x} + 11 \) — это:
\[ \boxed{16} \]
