Abcd равнобедренная трапеция, AB=CD, угл BCD= 135°, AD= 20 см, BC= 10см. Найти периметр равнобедренной трапеции
Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции ABCD, давайте обозначим длины сторон:
- AB = CD (длины оснований равны)
- AD = 20 см (одна из боковых сторон)
- BC = 10 см (другая боковая сторона)
- ∠BCD = 135° (угол, который также можно использовать для поиска необходимых длины)
Периметр трапеции (P) равен сумме всех её сторон:
\[ P = AB + BC + CD + AD \]
Так как AB = CD, мы можем обозначить их длину через x.
Таким образом, мы можем выразить периметр следующим образом:
\[ P = x + 10 + x + 20 = 2x + 30 \]
Теперь нам необходимо найти длину оснований AB и CD. Для этого воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и тригонометрией.
Мы знаем, что угол BCD равен 135°, следовательно угол BCA (комплементарный угол) равен 180° - 135° = 45°.
Рассмотрим треугольник BCD. Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины CD (или AB). В этом треугольнике:
\[ BD = BC \cdot \cos(45°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \]
Теперь, у нас есть длина отрезка BD. Чтобы найти длину CD, используем свойства трапеции:
\[ CD = AD - BD = 20 - 5\sqrt{2} \]
Таким образом, основание CD = AB = 20 - 5\sqrt{2} см.
Теперь подставим эту величину в формулу периметра:
\[ P = 2(20 - 5\sqrt{2}) + 30 = 40 - 10\sqrt{2} + 30 = 70 - 10\sqrt{2} \]
Итак, периметр равнобедренной трапеции ABCD равен \( 70 - 10\sqrt{2} \) см.
