1. Постройте график функции y = x ^ 2 - 8x + 13 Найдите с помощью графика: а) значение у при x = 1, 5 ; 6) значения х, при которых y = 2 ; в) нули функции; г) промежуток, в…

Конечно! Давайте разберём ваши вопросы по порядку.

1. Постройте график функции y = x² - 8x + 13. Для построения графика вспомогательно найдём координаты вершин и нули функции.

   • Преобразуем функцию:
     \(y = x^2 - 8x + 13 = (x^2 - 8x + 16) - 3 = (x - 4)^2 - 3.\)
     Вершина параболы находится в точке \(x = 4\), \(y = -3\).

   • Теперь можем найти: а) Значение \(y\) при \(x = 1.5\):
     \(y(1.5) = (1.5)^2 - 8(1.5) + 13 = 2.25 - 12 + 13 = 3.25.\)

     б) Найдём значения \(x\), при которых \(y = 2\): \((x - 4)^2 - 3 = 2\) → \((x - 4)^2 = 5\) → \(x - 4 = \pm\sqrt{5}\) →
     \(x = 4 ± \sqrt{5}.\)

     в) Нули функции:
     \((x - 4)^2 - 3 = 0\) → \((x - 4)^2 = 3\) → \(x - 4 = \pm\sqrt{3}\) →
     \(x = 4 ± \sqrt{3}.\)

     г) Промежуток, в котором функция убывает:
     Функция убывает на промежутке \(x < 4\).

2. Найдите наибольшее значение функции y = -x² + 6x - 4.
   Эта функция имеет форму параболы, открытой вниз, и её наибольшее значение достигается в вершине.
   \(x_{vertex} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3.\)
   Теперь подставим \(x = 3\) в функцию:
   \(y(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 - 4 = -9 + 18 - 4 = 5.\)
   Наибольшее значение функции равно 5.

3. Найдите область значений функции y = x² - 4x - 7, где x ∈ [-1; 5].
   Сначала найдем значения функции на границах и в критической точке.
   Вершина находится в \(x = 2\):
   \(y(2) = 2^2 - 4\cdot2 - 7 = 4 - 8 - 7 = -11.\)
   Подставляем границы:

   • \(y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 7 = 1 + 4 - 7 = -2.\)
   • \(y(5) = 5^2 - 4(5) - 7 = 25 - 20 - 7 = -2.\)

   Значения функции в отрезке [-1; 5] изменяются от -11 до -2. Таким образом, область значений функции: \([-11; -2]\).

4. Определите, пересекаются ли y = \(\frac{1}{5}x^2\) и прямая y = 20 - 3x?
   Для нахождения точек пересечения приравниваем функции:
   \(\frac{1}{5}x^2 = 20 - 3x\) → \(x^2 + 15x - 100 = 0\).
   Используем дискриминант:
   \(D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625.\)
   Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня:
   \(x = \frac{-15 ± \sqrt{625}}{2} = \frac{-15 ± 25}{2}.\)
   Значит, корни: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -20\).
   Поэтому точки пересечения:
   \(y(5) = 20 - 3\cdot5 = 5\) и \(y(-20) = 20 + 60 = 80.\)
   Точки пересечения: (5, 5) и (-20, 80).

5. **Найдите значение выражения \(\sqrt[3]{-\frac{2 \cdot 10}{27}} + 8 \cdot \sqrt[4]{5 \frac{1}{16}}.** Упростим каждую часть: - \(\sqrt[3]{-\frac{20}{27}} = -\frac{2}{3}.\)

   • \(\sqrt[4]{5 \frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}.\)
     Теперь подставим:
     \(8 \cdot \frac{3}{2} = 12.\)
     Итак, интересующее нас значение:
     \(-\frac{2}{3} + 12 = 12 - \frac{2}{3} = \frac{36}{3} - \frac{2}{3} = \frac{34}{3}.\)

Если у вас есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!