докажите неравенство (m+n)^2/2≤m^2+n^2

Давайте рассмотрим неравенство \(\frac{(m+n)^2}{2} \leq m^2+n^2\).

Для начала запишем левую часть неравенства:

\[ \frac{(m+n)^2}{2} = \frac{m^2 + 2mn + n^2}{2} \]

Теперь упростим неравенство, умножив обе стороны на 2 (так как 2 положительное число, неравенство не изменится):

\[ m^2 + 2mn + n^2 \leq 2(m^2 + n^2) \]

Раскроем правую часть:

\[ m^2 + 2mn + n^2 \leq 2m^2 + 2n^2 \]

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону:

\[ m^2 + 2mn + n^2 - 2m^2 - 2n^2 \leq 0 \]

Упростим это:

\[ - m^2 + 2mn - n^2 \leq 0 \]

Поменяем местами слагаемые, чтобы получить более удобный вид:

\[ 2mn - m^2 - n^2 \leq 0 \]

Теперь переработаем это неравенство еще раз, выделив полный квадрат:

\[ -(m^2 - 2mn + n^2) \leq 0 \]

Это упрощается до:

\[ -(m - n)^2 \leq 0 \]

Так как квадрат любого числа неотрицателен (\((m - n)^2 \geq 0\)), то и его отрицательное значение будет не больше 0:

\[ -(m - n)^2 \leq 0 \]

Таким образом, мы доказали неравенство:

\[ \frac{(m+n)^2}{2} \leq m^2+n^2 \]

Это завершает наш доказательство. Неравенство выполняется для любых \(m\) и \(n\).