Спрос на морковный сок имеет вид Qd = 10 - p, а предложение морковного сока задается функции Q8 = 2p - 4 - c ( Qd и Q8 - величины спроса и предложения, литров в д.е., c - цена одного килограмма моркови в д.е., на нее не влияют производители сока). При какой цене моркови в д.е. выручка производителей морковного сока в равновесии будет максимальной?
Чтобы найти цену моркови, при которой выручка производителей морковного сока будет максимальной, необходимо выполнить следующие шаги.
Найдем точки равновесия спроса и предложения. Дано:
- Функция спроса: \( Q_d = 10 - p \)
- Функция предложения: \( Q_s = 2p - 4 - c \)
В равновесии \( Q_d = Q_s \). Подставим формулы:
\[ 10 - p = 2p - 4 - c \]
Решим это уравнение относительно \( p \):
\[ 10 + 4 + c = 2p + p \] \[ 14 + c = 3p \] \[ p = \frac{14 + c}{3} \]
Найдем количество равновесного объема. Подставим значение \( p \) в функцию спроса или предложения, например, в функцию спроса:
\[ Q_d = 10 - \frac{14 + c}{3} \] \[ Q_d = 10 - \frac{14}{3} - \frac{c}{3} \] \[ Q_d = \frac{30}{3} - \frac{14}{3} - \frac{c}{3} \] \[ Q_d = \frac{16 - c}{3} \]
Посчитаем выручку (R). Выручка определяется как произведение цены и количества:
\[ R = p \cdot Q_d \] Подставим найденные значения:
\[ R = \left(\frac{14 + c}{3}\right) \cdot \left(\frac{16 - c}{3}\right) \]
Упростим это выражение:
\[ R = \frac{(14 + c)(16 - c)}{9} \] \[ R = \frac{224 - 14c + 16c - c^2}{9} \] \[ R = \frac{224 + 2c - c^2}{9} \]
Найдем максимум выручки. Чтобы максимизировать выручку, найдем производную функции выручки по \( c \) и приравняем её к нулю:
\[ \frac{dR}{dc} = \frac{2 - 2c}{9} \] Приравняем к нулю:
\[ 2 - 2c = 0 \] \[ c = 1 \]
Таким образом, цена одного килограмма моркови, при которой выручка производителей морковного сока в равновесии будет максимальной, равна 1 д.е.
