Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Квант» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Квант» выиграет жребий ровно два раза.
Для решения задачи определим, что вероятность команды «Квант» выиграть жребий в одном матче равна 0,5, так как есть две возможности: либо «Квант» выиграет жребий, либо проиграет. Поскольку мы рассматриваем три матча, мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения вероятности того, что «Квант» выиграет жребий ровно два раза.
Биномиальная вероятность вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдет ровно k раз,
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании,
- \( n \) — общее количество испытаний,
- \( k \) — количество успехов.
В нашем случае:
- \( n = 3 \) (количество матчей),
- \( k = 2 \) (количество выигрышей жребия),
- \( p = 0,5 \) (вероятность выигрыша жребия в одном матче).
Теперь подставим значения в формулу:
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C(3, 2) \):
\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 \]
- Теперь можем подставить все значения в формулу для вероятности:
\[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^{3-2} \]
\[ P(X = 2) = 3 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^1 = 3 \cdot 0,25 \cdot 0,5 = 3 \cdot 0,125 = 0,375 \]
Таким образом, вероятность того, что команда «Квант» выиграет жребий ровно два раза в трех матчах, составляет 0,375 или 37,5%.
