(х+9)(х-2)(х-15)<0

Чтобы решить неравенство \((x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0\), начнем с нахождения корней, при которых произведение равно нулю. Это происходит при \(x + 9 = 0\), \(x - 2 = 0\) и \(x - 15 = 0\). Находим корни:

1. \(x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9\)
2. \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
3. \(x - 15 = 0 \Rightarrow x = 15\)

Теперь у нас есть три корня: \(x = -9\), \(x = 2\) и \(x = 15\). Эти значения разделяют числовую ось на четыре интервала:

1. \(x < -9\)
2. \(-9 < x < 2\)
3. \(2 < x < 15\)
4. \(x > 15\)

Для определения знака произведения в каждом интервале, подставим тестовые значения из каждого интервала.

1. Для \(x < -9\) (например, \(x = -10\)): \[ (-10 + 9)(-10 - 2)(-10 - 15) = (-1)(-12)(-25) < 0 \] Значит, знак отрицательный.

2. Для \(-9 < x < 2\) (например, \(x = 0\)): \[ (0 + 9)(0 - 2)(0 - 15) = (9)(-2)(-15) > 0 \] Значит, знак положительный.

3. Для \(2 < x < 15\) (например, \(x = 5\)): \[ (5 + 9)(5 - 2)(5 - 15) = (14)(3)(-10) < 0 \] Значит, знак отрицательный.

4. Для \(x > 15\) (например, \(x = 20\)): \[ (20 + 9)(20 - 2)(20 - 15) = (29)(18)(5) > 0 \] Значит, знак положительный.

Теперь мы можем сформулировать, в каких интервалах произведение отрицательно:

• В интервале \(x < -9\) и \(2 < x < 15\) произведение меньше нуля.

Запишем итоговые решения:

\[ x \in (-\infty, -9) \cup (2, 15) \]

Таким образом, неравенство \((x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0\) выполняется для \(x\) из указанных интервалов: \(x < -9\) и \(2 < x < 15\).