2. Решите треугольник АВС, если угол В=75°, угол А=45°, АВ=2√3 см.
Для решения треугольника \( ABC \) с заданными углами и стороной, воспользуемся теорией о треугольниках. У нас имеются следующие данные:
- Угол \( B = 75^\circ \)
- Угол \( A = 45^\circ \)
- Длина стороны \( AB = 2\sqrt{3} \) см
Сначала найдем угол \( C \):
\[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ \]
Теперь у нас есть все углы треугольника: \( A = 45^\circ \), \( B = 75^\circ \), \( C = 60^\circ \).
Следующим шагом мы можем воспользоваться теоремой синусов для нахождения оставшихся сторон \( AC \) и \( BC \). Теорема синусов утверждает:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).
Обозначим:
- \( c = AB = 2\sqrt{3} \) см
- \( a = BC \)
- \( b = AC \)
Теперь подставим значения в формулы:
\[ \frac{c}{\sin C} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \]
Теперь можем найти стороны \( a \) и \( b \):
- Для \( a = BC \):
\[ \frac{a}{\sin A} = 4 \implies a = 4 \cdot \sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см} \]
- Для \( b = AC \):
\[ \frac{b}{\sin B} = 4 \implies b = 4 \cdot \sin 75^\circ \]
Значение \( \sin 75^\circ \) можно найти используя формулу синуса суммы:
\[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \]
\[ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Теперь вычислим \( b \):
\[ b = 4 \cdot \sin 75^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2} \text{ см} \]
Итак, у нас есть все стороны треугольника \( ABC \):
- \( AB = 2\sqrt{3} \) см
- \( BC = 2\sqrt{2} \) см
- \( AC = \sqrt{6} + \sqrt{2} \) см
Таким образом, треугольник \( ABC \) решен!
