Постройте таблицу истинности для логического выражения (A 🔽 B) 🔼 (A🔼B)

Чтобы построить таблицу истинности для логического выражения \((A \downarrow B) \uparrow (A \uparrow B)\), давайте сначала разберёмся с логическими операциями, которые здесь используются:

• \(A \downarrow B\) (импликация) – это логическая операция, которая является ложной только тогда, когда \(A\) истинно, а \(B\) ложно. В остальных случаях она истинна.
• \(X \uparrow Y\) (конъюнкция) – это логическая операция, которая является истинной только тогда, когда оба \(X\) и \(Y\) истинны.

Теперь, чтобы составить таблицу истинности, рассмотрим все возможные комбинации значений для переменных \(A\) и \(B\). Мы получим 2 переменные, что даёт нам \(2^2 = 4\) строки в таблице.

Вот шаги для построения таблицы истинности:

1. Определим входные переменные \(A\) и \(B\).
2. Вычислим \(A \downarrow B\).
3. Вычислим \(A \uparrow B\).
4. Подсчитаем значение всего выражения \((A \downarrow B) \uparrow (A \uparrow B)\).

Составим таблицу:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline A & B & A \downarrow B & A \uparrow B & (A \downarrow B) \uparrow (A \uparrow B) \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \]

Теперь разберём каждую строку:

1. Если \(A=0\), \(B=0\):

   • \(A \downarrow B = 1\) (так как оба ложные)
   • \(A \uparrow B = 1\)
   • \((A \downarrow B) \uparrow (A \uparrow B = 1 \uparrow 1 = 0\)

2. Если \(A=0\), \(B=1\):

   • \(A \downarrow B = 1\)
   • \(A \uparrow B = 0\)
   • \((A \downarrow B) \uparrow (A \uparrow B) = 1 \uparrow 0 = 1\)

3. Если \(A=1\), \(B=0\):

   • \(A \downarrow B = 0\)
   • \(A \uparrow B = 1\)
   • \((A \downarrow B) \uparrow (A \uparrow B) = 0 \uparrow 1 = 1\)

4. Если \(A=1\), \(B=1\):

   • \(A \downarrow B = 0\)
   • \(A \uparrow B = 0\)
   • \((A \downarrow B) \uparrow (A \uparrow B) = 0 \uparrow 0 = 1\)

Таким образом, итоговая таблица истинности для логического выражения \((A \downarrow B) \uparrow (A \uparrow B)\) выглядит следующим образом.