4. Одна сторона треугольника на 6 см меньше другой, а угол между ними равен 60". Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.
Для решения этой задачи сначала обозначим стороны треугольника. Пусть одна сторона будет \( x \) см, тогда другая сторона будет \( x - 6 \) см. Третья сторона уже известна и равна 14 см.
Согласно условиям задачи, угол между двумя сторонами \( x \) и \( x - 6 \) равен 60 градусов. Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти значение \( x \):
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]
где:
- \( c \) — сторона против угла (в нашем случае это 14 см),
- \( a = x \),
- \( b = x - 6 \),
- \( \gamma = 60^\circ \).
Подставим значения в формулу:
\[ 14^2 = x^2 + (x - 6)^2 - 2 \cdot x \cdot (x - 6) \cdot \cos(60^\circ) \]
Знаем, что \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \):
\[ 196 = x^2 + (x - 6)^2 - 2 \cdot x \cdot (x - 6) \cdot \frac{1}{2} \]
Упростим выражение:
\[ 196 = x^2 + (x^2 - 12x + 36) - (x^2 - 6x) \] \[ 196 = x^2 + x^2 - 12x + 36 - x^2 + 6x \] \[ 196 = x^2 - 6x + 36 \]
Перегруппируем уравнение:
\[ 0 = x^2 - 6x + 36 - 196 \] \[ 0 = x^2 - 6x - 160 \]
Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 6x - 160 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676 \]
Найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 26}{2} \]
Получаем два корня:
- \( x = \frac{32}{2} = 16 \)
- \( x = \frac{-20}{2} = -10 \) (неподходящий корень, так как длина стороны не может быть отрицательной)
Таким образом, \( x = 16 \) см. Тогда вторая сторона равна:
\[ x - 6 = 16 - 6 = 10 \text{ см}. \]
Теперь найдем периметр треугольника:
\[ P = x + (x - 6) + 14 = 16 + 10 + 14 = 40 \text{ см}. \]
Таким образом, периметр треугольника равен 40 см.
