5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 17 см, 25 см и 28 см. 6. Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведённая к третьей…

5. Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 17 см, 25 см и 28 см, можно использовать формулу радиуса окружности, описанной около треугольника:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где \( a \), \( b \), и \( c \) — это длины сторон треугольника, а \( S \) — площадь треугольника.

Сначала найдем площадь \( S \) треугольника с помощью формулы Герона:

1. Находится полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17 + 25 + 28}{2} = 35 \, \text{см} \]

2. Теперь найдем площадь \( S \) по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Подставляем значения:

\[ S = \sqrt{35(35 - 17)(35 - 25)(35 - 28)} \] \[ S = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} \] \[ S = \sqrt{35 \cdot 1260} \] \[ S = \sqrt{44100} \] \[ S = 210 \, \text{см}^2 \]

3. Теперь возвращаемся к формуле радиуса:

\[ R = \frac{17 \cdot 25 \cdot 28}{4 \cdot 210} \]

Вычислим:

\[ R = \frac{11900}{840} \] \[ R \approx 14.16 \, \text{см} \]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, примерно равен 14.16 см.

6. Для нахождения неизвестной стороны треугольника с двумя известными сторонами (7 см и 9 см) и медианой, проведённой к третьей стороне (4 см), можно использовать теорему о медиане, которая выглядит следующим образом:

\[ m^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} \]

где \( m \) — длина медианы, \( a \) и \( b \) — длины двух известных сторон, а \( c \) — длина стороны, к которой проведена медиана.

Подставим известные значения:

\[ 4^2 = \frac{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - c^2}{4} \]

Приведем уравнение к удобному виду:

\[ 16 = \frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - c^2}{4} \]

Умножим обе стороны на 4:

\[ 64 = 2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - c^2 \]

Вычислим:

\[ 64 = 98 + 162 - c^2 \] \[ 64 = 260 - c^2 \] \[ c^2 = 260 - 64 \] \[ c^2 = 196 \] \[ c = \sqrt{196} \] \[ c = 14 \, \text{см} \]

Таким образом, неизвестная сторона треугольника равна 14 см.