Докажите что функция y = 4 cos x - 3sinx удовлетворяет уравнению 4y - 3y' равно 25 косинус X

Чтобы доказать, что функция \( y = 4 \cos x - 3 \sin x \) удовлетворяет уравнению \( 4y - 3y' = 25 \cos x \), сначала найдем производную функции \( y \).

1. Найдите производную \( y \):

\[ y = 4 \cos x - 3 \sin x \]

Используем правила дифференцирования:

\[ y' = -4 \sin x - 3 \cos x \]

2. Теперь подставим \( y \) и \( y' \) в уравнение \( 4y - 3y' \):

\[ 4y = 4(4 \cos x - 3 \sin x) = 16 \cos x - 12 \sin x \]

\[ -3y' = -3(-4 \sin x - 3 \cos x) = 12 \sin x + 9 \cos x \]

3. Сложим \( 4y \) и \(-3y'\):

\[ 4y - 3y' = (16 \cos x - 12 \sin x) + (12 \sin x + 9 \cos x) \]

Соберем подобные члены:

\[ = (16 \cos x + 9 \cos x) + (-12 \sin x + 12 \sin x) = 25 \cos x \]

Таким образом, у нас получается:

\[ 4y - 3y' = 25 \cos x \]

Это и есть то, что нам нужно было доказать. Функция \( y = 4 \cos x - 3 \sin x \) действительно удовлетворяет уравнению \( 4y - 3y' = 25 \cos x \).