Дан треугольник абс а(7;-5) б(3;1) с(-1;-5) доказать что треугольник вписан в окружность

Чтобы доказать, что треугольник ABC с вершинами A(7; -5), B(3; 1) и C(-1; -5) вписан в окружность, необходимо показать, что его углы составляют равные величины, с помощью свойств окружности.

Для этого воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника и условиями о величине углов.

1. Сначала найдем длины сторон треугольника:

   • Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(3 - 7)^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

   • Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

   • Длина стороны CA: \[ CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (-5 - (-5))^2} = \sqrt{(8)^2 + (0)^2} = \sqrt{64} = 8 \]

2. Теперь найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой: \[ S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| \] Подставим координаты: \[ S = \frac{1}{2} |7(1 - (-5)) + 3((-5) - (-5)) + (-1)((-5) - 1)| = \frac{1}{2} |7 \cdot 6 + 3 \cdot 0 + (-1)(-6)| = \frac{1}{2} |42 + 6| = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \]

3. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника, используя формулу: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Здесь a, b и c — длины сторон треугольника. Используем:

   • a = 2√13
   • b = 2√13
   • c = 8

   Подставляем значения: \[ R = \frac{(2\sqrt{13})(2\sqrt{13})(8)}{4 \cdot 24} = \frac{32 \cdot 13}{96} = \frac{416}{96} = \frac{52}{12} = \frac{13}{3} \]

Таким образом, показав, что существует радиус окружности, и используя вычисленные длины сторон и площадь, можно утверждать, что треугольник ABC действительно вписан в окружность. Вывод: треугольник ABC вписан в окружность радиусом R = \( \frac{13}{3} \).