Y= | x²-4 | , найти знакопостоянство
Чтобы найти знакопостоянство функции \( y = | x^2 - 4 | \), сначала проанализируем, что происходит с выражением внутри абсолютной величины \( x^2 - 4 \).
Найдем точки, в которых \( x^2 - 4 = 0 \): \[ x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ или } x = -2. \] Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \) и \( (2, \infty) \).
Определим знак \( x^2 - 4 \) на каждом из интервалов:
Для интервала \( (-\infty, -2) \): Выберем точку, например, \( x = -3 \): \[ x^2 - 4 = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0. \] Следовательно, на этом интервале \( x^2 - 4 \) положительно, и \( | x^2 - 4 | = x^2 - 4 \).
Для интервала \( (-2, 2) \): Выберем точку, например, \( x = 0 \): \[ x^2 - 4 = 0^2 - 4 = -4 < 0. \] На этом интервале \( x^2 - 4 \) отрицательно, и \( | x^2 - 4 | = -(x^2 - 4) = 4 - x^2 \).
Для интервала \( (2, \infty) \): Выберем точку, например, \( x = 3 \): \[ x^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0. \] На этом интервале также \( x^2 - 4 \) положительно, и \( | x^2 - 4 | = x^2 - 4 \).
Соберём информацию о знаках:
- На интервале \( (-\infty, -2) \): \( | x^2 - 4 | > 0 \)
- На интервале \( (-2, 2) \): \( | x^2 - 4 | > 0 \)
- На интервале \( (2, \infty) \): \( | x^2 - 4 | > 0 \)
Точки, в которых происходит изменение знака: Функция \( | x^2 - 4 | \) равна нулю в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
Таким образом, функция \( y = | x^2 - 4 | \) положительна на интервалах \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \) и \( (2, \infty) \) и равна нулю в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
