1. Постройте график функции y = x ^ 2 - 8x + 13 Найдите с помощью графика: а) значение у при x = 1, 5 ; 6) значения х, при которых y = 2 ; в) нули функции; г) промежуток, в…

Давайте подробно разберем функцию \( y = x^2 - 8x + 13 \) и ответим на все заданные вопросы.

1. Построение графика функции

Для начала можно определить, что данная функция является параболой, открытой вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный.

Вершина параболы (максимум или минимум): Вершина параболы находится по формуле:

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

где \( a = 1 \) и \( b = -8 \).

Таким образом,

\[ x = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \]

Теперь найдем значение \( y \) в вершине, подставив \( x = 4 \) в нашу функцию:

\[ y = (4)^2 - 8 \cdot 4 + 13 = 16 - 32 + 13 = -3 \]

Таким образом, координаты вершины: \( (4, -3) \).

Теперь можно построить график, выбрав несколько значений \( x \) и вычисляя соответствующие значения \( y \).

2. Значение \( y \) при \( x = 1 \) и \( x = 5 \)

Теперь найдем значения функции при указанных значениях \( x \).

• Для \( x = 1 \):

\[ y = (1)^2 - 8 \cdot 1 + 13 = 1 - 8 + 13 = 6 \]

• Для \( x = 5 \):

\[ y = (5)^2 - 8 \cdot 5 + 13 = 25 - 40 + 13 = -2 \]

Итак, значения:

• При \( x = 1 \), \( y = 6 \)
• При \( x = 5 \), \( y = -2 \)

3. Значения \( x \), при которых \( y = 2 \)

Для нахождения этих значений приравняем \( y \) к 2:

\[ 2 = x^2 - 8x + 13 \]

Переносим все в одну сторону уравнения:

\[ 0 = x^2 - 8x + 11 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 64 - 44 = 20 \]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 4 \pm \sqrt{5} \]

Таким образом, значения \( x \):

\[ x_1 = 4 + \sqrt{5}, \quad x_2 = 4 - \sqrt{5} \]

4. Нули функции

Для нахождения нулей функции, приравняем \( y \) к 0:

\[ 0 = x^2 - 8x + 13 \]

Решим уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 64 - 52 = 12 \]

Так как дискриминант положительный, у нас будут два корня:

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 4 \pm \sqrt{3} \]

Таким образом, нули функции:

\[ x_1 = 4 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 4 - \sqrt{3} \]

5. Промежуток, в котором функция убывает

Парабола убывает до вершины (где \( x = 4 \)). Поэтому функция убывает на интервале:

\[ (-\infty, 4] \]

Подводя итог:

• Значение \( y \) при \( x = 1 \): 6
• Значение \( y \) при \( x = 5 \): -2
• \( x \) при \( y = 2 \): \( 4 + \sqrt{5} \) и \( 4 - \sqrt{5} \)
• Нули функции: \( 4 + \sqrt{3} \) и \( 4 - \sqrt{3} \)
• Функция убывает на интервале: \( (-\infty, 4] \)

Теперь вы обладаете полной информацией о функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать.