Знайти границю lim (arcsin (4x) • ctg(10x)) x→0

Для знаходження межі \( \lim_{x \to 0} (\arcsin(4x) \cdot \cot(10x)) \), давайте розглянемо обидві складові окремо.

1. Термін \( \arcsin(4x) \):

Коли \( x \to 0 \), то \( 4x \to 0 \) і

\[ \arcsin(4x) \sim 4x \quad \text{(оскільки } \arcsin(y) \sim y \text{, коли } y \to 0\text{)}. \]

Отже, ми маємо:

\[ \arcsin(4x) \approx 4x. \]

2. Термін \( \cot(10x) \):

Коли \( x \to 0 \), то \( 10x \to 0 \) і

\[ \cot(10x) = \frac{\cos(10x)}{\sin(10x)}. \]

Оскільки \( \sin(10x) \sim 10x \) і \( \cos(10x) \to 1 \), ми маємо:

\[ \cot(10x) \approx \frac{1}{10x}. \]

3. Об'єднання обох термінів:

Тепер можемо підставити ці апострофи в межу:

\[ \lim_{x \to 0} (\arcsin(4x) \cdot \cot(10x)) \approx \lim_{x \to 0} (4x \cdot \frac{1}{10x}) = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{10x} = \lim_{x \to 0} \frac{4}{10} = \frac{2}{5}. \]

Отже, границя дорівнює:

\[ \boxed{\frac{2}{5}}. \]