Укажите решение неравенств 10х-х²≤0

Для решения неравенства \(10x - x^2 \leq 0\) сначала преобразим его в стандартный вид.

1. Перепишем неравенство: \[ -x^2 + 10x \leq 0 \] Умножим обе стороны на -1 (при этом не забываем изменить знак неравенства): \[ x^2 - 10x \geq 0 \]

2. Теперь вынесем общий множитель: \[ x(x - 10) \geq 0 \]

3. Значения \(x\), при которых произведение равно нулю, определим так: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10 \]

4. Теперь определим интервалы для проверки знаков:

   • Интервалы: \((-∞, 0)\), \((0, 10)\), \((10, +∞)\)

5. Проверим знаки в каждом интервале:

   • Для \(x < 0\) (например, \(x = -1\)): \((-1)(-1 - 10) = (-1)(-11) = 11 > 0\)
   • Для \(0 < x < 10\) (например, \(x = 5\)): \((5)(5 - 10) = (5)(-5) = -25 < 0\)
   • Для \(x > 10\) (например, \(x = 11\)): \((11)(11 - 10) = (11)(1) = 11 > 0\)

6. Теперь можем обозначить решения неравенства. Мы искали, когда произведение больше или равно нулю:

   • Произведение положительно на интервалах \((-∞, 0)\) и \((10, +∞)\).
   • Включим также точки, где произведение равно нулю: \(x = 0\) и \(x = 10\).

Таким образом, окончательное решение неравенства: \[ x \in (-\infty, 0] \cup [10, +\infty) \]