Найти объем пирамиды 𝐴1(1, 8, 2), 𝐴2(5, 2, 6), 𝐴3(5, 7, 4), 𝐴4(4, 10, 9).

Для нахождения объема пирамиды с известными координатами её вершин можно воспользоваться формулой:

\[ V = \frac{1}{6} | \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) | \]

где:

• \( V \) — объем пирамиды,
• \( \vec{A_1A_2} \), \( \vec{A_1A_3} \), \( \vec{A_1A_4} \) — векторы от одной из вершин (например, \( A_1 \)) до остальных вершин.

Сначала найдем вектора:

1. \( \vec{A_1A_2} = A_2 - A_1 = (5 - 1, 2 - 8, 6 - 2) = (4, -6, 4) \)
2. \( \vec{A_1A_3} = A_3 - A_1 = (5 - 1, 7 - 8, 4 - 2) = (4, -1, 2) \)
3. \( \vec{A_1A_4} = A_4 - A_1 = (4 - 1, 10 - 8, 9 - 2) = (3, 2, 7) \)

Теперь найдем векторное произведение \( \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} \):

\[ \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 7 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ = \hat{i}((-1) \cdot 7 - 2 \cdot 2) - \hat{j}(4 \cdot 7 - 2 \cdot 3) + \hat{k}(4 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) \] \[ = \hat{i}(-7 - 4) - \hat{j}(28 - 6) + \hat{k}(8 + 3) \] \[ = \hat{i}(-11) - \hat{j}(22) + \hat{k}(11) \] \[ = (-11, -22, 11) \]

Теперь найдем скалярное произведение \( \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) \):

\[ \vec{A_1A_2} \cdot (-11, -22, 11) = (4, -6, 4) \cdot (-11, -22, 11) \] \[ = 4 \cdot (-11) + (-6) \cdot (-22) + 4 \cdot 11 \] \[ = -44 + 132 + 44 = 132 \]

Теперь найдем объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{6} |132| = \frac{132}{6} = 22 \]

Таким образом, объем пирамиды равен \(22\) кубических единиц.