Ф.И. Судирева Настя 8-а Вариант 1. 1. Для чисел -2, -1, 1, 2, 5 вычислите среднее значение. Заполните таблицу и вычислите дисперсию. 1) Найдем среднее арифметическое 2) Дисперсия равна Как изменится дисперсия набора 4; 6; 8; 140, если удалить число 140? Число набора -2 Отклонение от среднего Квадрат отклонения - 1| 2 5 Решение: 2. 3. Часы испытывают на точность с помощью специального теста, в ходе которого определяется ошибка измерения времени (в секундах на протяжении суток) при разной температуре, влажности и в разных положениях механизма. Часы получают сертификат точности, если размах ошибки меньше 5,5 секунды за сутки, а дисперсия меньше 3. Если средняя ошибка превышает 2 секунды, то часы нуждаются в регулировке. В таблице даны результаты пяти испытаний одного часового механизма. Номер испытания 2 3 Ошибка, с -0,4 -0,9 1,6 4 4,1 5 3,6 Найдите среднюю ошибку, размах и дисперсию ошибки. Получат ли эти часы сертификат точности, или они нуждаются в регулировке? Решение: 1) Средняя ошибка: 2) Размах ошибки: 3) Дисперсия ошибки: Ответ: 4. Дисперсия набора чисел 5; 11; 2 равна 14. С помощью свойств дисперсии найдите дисперсию набора чисел: a) 50; 110; 20; б) 15; 21; 12. Число набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения -0,4 -0,9 1,6 4,1 3,6 Примечание: размах числового ряда — это разница между наибольшим и наименьшим значением в наборе данных. Формула: Размах = Максимальное значение - Минимальное
Давайте решим все пункты по порядку.
Задача 1
Для чисел -2, -1, 1, 2, 5.
1) Найдем среднее арифметическое: \[ \text{Среднее} = \frac{-2 + (-1) + 1 + 2 + 5}{5} = \frac{5}{5} = 1 \]
2) Заполним таблицу:
| Число набора | Отклонение от среднего | Квадрат отклонения |
|---|---|---|
| -2 | -2 - 1 = -3 | (-3)² = 9 |
| -1 | -1 - 1 = -2 | (-2)² = 4 |
| 1 | 1 - 1 = 0 | 0² = 0 |
| 2 | 2 - 1 = 1 | 1² = 1 |
| 5 | 5 - 1 = 4 | 4² = 16 |
Теперь найдем дисперсию: \[ \text{Дисперсия} = \frac{\text{Сумма квадратов отклонений}}{N} = \frac{9 + 4 + 0 + 1 + 16}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]
Ответ:
- Среднее значение: 1
- Дисперсия: 6
Как изменится дисперсия, если удалить число 140 в наборе 4; 6; 8; 140?
Находим дисперсию изначального набора 4, 6, 8, 140.
Найдите среднее: \[ \text{Среднее} = \frac{4 + 6 + 8 + 140}{4} = \frac{158}{4} = 39.5 \]
Отклонение:
- 4: \(4 - 39.5 = -35.5\)
- 6: \(6 - 39.5 = -33.5\)
- 8: \(8 - 39.5 = -31.5\)
- 140: \(140 - 39.5 = 100.5\)
- Квадрат отклонений:
- \((-35.5)^2\)
- \((-33.5)^2\)
- \((-31.5)^2\)
- \((100.5)^2\)
Сумма квадратов = 1260.25 + 1122.25 + 992.25 + 10100.25 = 11475
- Дисперсия: \[ \text{Дисперсия} = \frac{11475}{4} = 2868.75 \]
Теперь удалим 140. Новый набор: 4, 6, 8.
Найдите среднее: \[ \text{Среднее} = \frac{4 + 6 + 8}{3} = 6 \]
Отклонения:
- 4: \(4 - 6 = -2\)
- 6: \(6 - 6 = 0\)
- 8: \(8 - 6 = 2\)
- Квадраты отклонений:
- \((-2)^2 = 4\)
- \(0^2 = 0\)
- \(2^2 = 4\)
Сумма = 4 + 0 + 4 = 8.
- Новая дисперсия: \[ \text{Дисперсия} = \frac{8}{3} \approx 2.67 \]
Задача 2
Ошибка измерения: -0.4, -0.9, 1.6, 4.1, 3.6.
1) Средняя ошибка: \[ \text{Средняя ошибка} = \frac{-0.4 + (-0.9) + 1.6 + 4.1 + 3.6}{5} = \frac{8.0}{5} = 1.6 \]
2) Размах ошибки: \[ \text{Размах} = 4.1 - (-0.9) = 4.1 + 0.9 = 5.0 \]
3) Дисперсия ошибки:
Отклонения:
- -0.4 - 1.6 = -2.0
- -0.9 - 1.6 = -2.5
- 1.6 - 1.6 = 0
- 4.1 - 1.6 = 2.5
- 3.6 - 1.6 = 2.0
Квадраты отклонений:
- \((-2.0)^2 = 4\)
- \((-2.5)^2 = 6.25\)
- \(0^2 = 0\)
- \((2.5)^2 = 6.25\)
- \((2.0)^2 = 4\)
Сумма квадратов отклонений: \(4 + 6.25 + 0 + 6.25 + 4 = 20.5\)
Дисперсия: \[ \text{Дисперсия} = \frac{20.5}{5} = 4.1 \]
Проверка на сертификат точности:
- Размах = 5 (больше 5.5, сертификат выдается)
- Дисперсия = 4.1 (больше 3, часы нуждаются в регулировке)
- Средняя ошибка = 1.6 (не превышает 2)
Ответ:
- Средняя ошибка: 1.6
- Размах: 5.0
- Дисперсия: 4.1
- Часы нуждаются в регулировке.
Задача 4
Дисперсия набора чисел 5; 11; 2 равна 14.
Теперь найдем дисперсии других наборов:
a) Для 50; 110; 20: \[ \text{Дисперсия} = k^2 + \text{Дисперсия} = 50^2 + 110^2 + 20^2 + 14 \] Где \(k\) — смещение от среднего. Сначала находим среднее: Среднее: \[ \text{Сумма} = 50 + 110 + 20 = 180, \] \[ \text{Среднее} = \frac{180}{3} = 60. \] Отклонения: 50: -10 110: 50 20: -40
Квадраты отклонений: 100, 2500, 1600. Сумма квадратов = 2200.
Новая дисперсия: \[ \text{Новая дисперсия} = \frac{2200 + 14}{3} = 735. \]
б) Для 15; 21; 12: \[ \text{Новая дисперсия} = k^2 + \text{Дисперсия}\text{ного состава} = (15-15)^2 + (21-15)^2 + (12-15)^2 + 14 = 0 + 36 + 9 + 14 = 59. \]
Таким образом, окончательные ответы следующие:
- Дисперсия набора 50; 110; 20 равна примерно 735.
- Дисперсия набора 15; 21; 12 равна 59.
