√x²-16=3 с одз

Чтобы решить уравнение \( \sqrt{x^2 - 16} = 3 \), начнем с изолирования корня. Мы можем избавиться от квадратного корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат.

1. Возводим обе стороны в квадрат:

\[ (\sqrt{x^2 - 16})^2 = 3^2 \]

Это упрощается до:

\[ x^2 - 16 = 9 \]

2. Добавляем 16 к обеим сторонам уравнения:

\[ x^2 = 9 + 16 \]

Это дает:

\[ x^2 = 25 \]

3. Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

\[ x = \pm 5 \]

У нас получаются два возможных решения: \( x = 5 \) и \( x = -5 \).

4. Теперь рассмотрим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

Корень из \( x^2 - 16 \) определён, только если выражение под корнем неотрицательно:

\[ x^2 - 16 \geq 0 \]

Это уравнение дает:

\[ x^2 \geq 16 \]

Из этого следует:

\[ |x| \geq 4 \]

Таким образом, \( x \) может принимать значения в следующем диапазоне:

\[ x \leq -4 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \]

5. Теперь проверим наши найденные решения.

• Для \( x = 5 \): \( 5 \geq 4 \), это подходит.
• Для \( x = -5 \): \( -5 \leq -4 \), это тоже подходит.

Таким образом, оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Итак, итоговые решения уравнения \( \sqrt{x^2 - 16} = 3 \) – это \( x = 5 \) и \( x = -5 \).