Если вершины треугольника равны A(-6;3), B(-4;3) и C(-1;8), найдите косинус треугольника CAV.

Для нахождения косинуса угла CAV в треугольнике ABC с вершинами A(-6; 3), B(-4; 3) и C(-1; 8), сначала найдем векторы AC и AB.

1. Вектор AC: \[ AC = C - A = (-1; 8) - (-6; 3) = (-1 + 6; 8 - 3) = (5; 5) \]

2. Вектор AB: \[ AB = B - A = (-4; 3) - (-6; 3) = (-4 + 6; 3 - 3) = (2; 0) \]

Теперь мы можем воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{|A| |B|} \] где \( A \cdot B \) — скалярное произведение векторов, а \( |A| \) и \( |B| \) — их длины.

3. Скалярное произведение AC и AB: \[ AC \cdot AB = (5; 5) \cdot (2; 0) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 0 = 10 \]

4. Длина векторов:

   • Длина вектора AC: \[ |AC| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
   • Длина вектора AB: \[ |AB| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \]

5. Теперь подставим в формулу: \[ \cos(CAV) = \frac{10}{(5\sqrt{2}) \cdot 2} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, косинус угла CAV равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).