Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

Чтобы доказать, что четырёхугольник является ромбом, если его вершинами являются середины сторон:

а) Прямоугольника.

1. Обозначим прямоугольник \(ABCD\), где \(AB\) и \(CD\) - противоположные стороны, а \(AD\) и \(BC\) - другие противоположные стороны.

2. Обозначим середины сторон:

   • \(M\) - середина \(AB\)
   • \(N\) - середина \(BC\)
   • \(P\) - середина \(CD\)
   • \(Q\) - середина \(DA\)

3. Теперь нужно показать, что четырёхугольник \(MNPQ\) является ромбом. Для этого необходимо продемонстрировать, что все его стороны равны.

4. Рассмотрим отрезки \(MN\) и \(PQ\): \[ MN = \frac{1}{2}AB \quad (поскольку\ M\ и\ N\ -\ середины\\, и\ AB\ //\ CD) \] \[ PQ = \frac{1}{2}CD \] Поскольку \(AB\) и \(CD\) равны (стороны прямоугольника), имеем \(MN = PQ\).

5. Теперь рассмотрим отрезки \(NP\) и \(QM\): \[ NP = \frac{1}{2}BC \quad (поскольку\ N\ и\ P\ -\ середины\,, и\ BC\ //\ AD) \] \[ QM = \frac{1}{2}DA \] Так как \(BC\) и \(DA\) равны, то \(NP = QM\).

6. Таким образом, получается, что \(MN = PQ\) и \(NP = QM\). Всё это указывает на то, что \(MNPQ\) - это параллелограмм, у которого равны все стороны, следовательно, \(MNPQ\) является ромбом.

б) Равнобедренной трапеции.

1. Обозначим равнобедренную трапецию как \(ABCD\), где \(AB\) - основание, а \(CD\) - верхнее основание (при этом \(AD = BC\)).

2. Обозначим середины сторон:

   • \(M\) - середина \(AB\)
   • \(N\) - середина \(BC\)
   • \(P\) - середина \(CD\)
   • \(Q\) - середина \(DA\)

3. Нужно показать, что четырёхугольник \(MNPQ\) является ромбом.

4. Рассмотрим отрезки \(MN\) и \(PQ\): \[ MN = \frac{1}{2}AB \quad (поскольку\ M\ и\ N\ -\ середины) \] \[ PQ = \frac{1}{2}CD \] Также, поскольку \(AB\) и \(CD\) могут иметь разную длину, то непосредственно не равны.

5. Теперь исследуем отрезки \(NP\) и \(QM\): \[ NP = \frac{1}{2}BC \quad (N\ и\ P\ -\ середины) \] \[ QM = \frac{1}{2}DA \]

6. Так как ABCD - равнобедренная трапеция, стороны \(AD\) и \(BC\) равны, то \[ NP = QM. \]

7. Рассмотрев все пары, получаем, что: \[ MN = PQ\ и\ NP = QM. \] Следовательно, \(MNPQ\) является параллелограммом, а так как \(MNPQ\) имеет равные стороны, оно также является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что в обоих случаях, когда вершинами четырёхугольника являются середины сторон, он будет ромбом.