Материальная точка движется вдоль прямой согласно уравнению x=t-0.2t2 Определите процденый путь S этой точкой за t=4секунды
Чтобы определить пройденный путь \( S \) материальной точки, которая движется вдоль прямой согласно уравнению \( x(t) = t - 0.2t^2 \), нам нужно сначала подставить значение \( t = 4 \) секунды в уравнение позиции.
Найдем координату точки в момент времени \( t = 4 \): \[ x(4) = 4 - 0.2 \times 4^2 \] \[ = 4 - 0.2 \times 16 \] \[ = 4 - 3.2 \] \[ = 0.8 \text{ метра} \]
Чтобы рассчитать пройденный путь, важно учесть, что материальная точка может менять направление. Поэтому, найдем скорость точки, которая является производной положения: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = 1 - 0.4t \]
Найдем время, когда скорость равна нулю: \[ 1 - 0.4t = 0 \] \[ 0.4t = 1 \] \[ t = 2.5 \text{ секунды} \]
Теперь разделим путь на два интервала: от \( t = 0 \) до \( t = 2.5 \) и от \( t = 2.5 \) до \( t = 4 \).
Для первого интервала (от 0 до 2.5): \[ x(2.5) = 2.5 - 0.2(2.5)^2 \] \[ = 2.5 - 0.2 \cdot 6.25 \] \[ = 2.5 - 1.25 \] \[ = 1.25 \text{ метра} \]
Для второго интервала (от 2.5 до 4): \[ x(4) = 0.8 \text{ метра (ранее найденное значение)} \]
Таким образом, пройденный путь \( S \) будет равен сумме длин двух интервалов:
- На первом интервале точка прошла от 0 до 1.25 метра.
- На втором интервале точка прошла от 1.25 метра до 0.8 метра. Поскольку точка вернулась назад, обратим внимание, что в этом интервале она прошла расстояние: \[ 1.25 - 0.8 = 0.45 \text{ метра} \]
Итоговый пройденный путь: \[ S = 1.25 + 0.45 = 1.70 \text{ метра} \]
Таким образом, за 4 секунды материальная точка прошла в общей сложности \( 1.70 \) метра.
