X и y-натуральные числа, удовлетворяют условиями: x/y=6/7 и НОД (x;y)+НОК(x;y)=129 найдите значение x+y
Давайте решим данную задачу. У нас есть натуралиные числа \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют следующим условиям:
- \( \frac{x}{y} = \frac{6}{7} \)
- \( НОД(x,y) + НОК(x,y) = 129 \)
Начнем с первого условия. Из него можно выразить \( x \) через \( y \):
\[ x = \frac{6}{7} y \]
Так как \( x \) и \( y \) - натуральные числа, это означет, что \( y \) должно быть кратно 7. Обозначим \( y = 7k \), где \( k \) - натуральное число. Тогда:
\[ x = \frac{6}{7} \cdot 7k = 6k \]
Теперь подставим \( x \) и \( y \) в формулу для НОД и НОК. Мы знаем, что:
\[ НОК(x,y) = \frac{x \cdot y}{НОД(x,y)} \]
Сначала найдем НОД. Определим \( a = 6k \) и \( b = 7k \). Находим \( НОД(a, b) \):
\[ НОД(6k, 7k) = k \]
Теперь вычислим НОК:
\[ НОК(6k, 7k) = \frac{6k \cdot 7k}{k} = 42k \]
Теперь подставим значения \( НОД \) и \( НОК \) в уравнение:
\[ k + 42k = 129 \]
Это можно упростить:
\[ 43k = 129 \]
Теперь найдем \( k \):
\[ k = \frac{129}{43} = 3 \]
Теперь можем найти \( x \) и \( y \):
\[ y = 7k = 7 \cdot 3 = 21 \] \[ x = 6k = 6 \cdot 3 = 18 \]
Теперь найдем сумму:
\[ x + y = 18 + 21 = 39 \]
Таким образом, значение \( x + y \) равно \( 39 \).
