Постройте графики у= 3х-5 у=х^2- 5х+6 укажите для каждой функции область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знак постоянства

Давайте разберем каждую функцию по отдельности и построим графики.

1. Первая функция: \( y = 3x - 5 \)

   Область определения: Эта функция является линейной, и ее область определения – все действительные числа, то есть \( D = (-\infty, +\infty) \).

   Множество значений: Поскольку линейная функция может принимать любые значения, множество значений также будет \( R = (-\infty, +\infty) \).

   Нули функции: Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение \( 3x - 5 = 0 \): \[ 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} \] Таким образом, ноль функции находится в точке \( x = \frac{5}{3} \).

   Промежутки знаков постоянства: Поскольку функция линейная и имеет положительный коэффициент при \( x \) (3), она всегда возрастает. Знак функции будет положительным для всех \( x > \frac{5}{3} \) и отрицательным для всех \( x < \frac{5}{3} \). В точке \( x = \frac{5}{3} \) функция равна нулю.

2. Вторая функция: \( y = x^2 - 5x + 6 \)

   Область определения: Это квадратная функция, и ее область определения также включает все действительные числа, то есть \( D = (-\infty, +\infty) \).

   Множество значений: Квадратная функция имеет минимум, так как парабола открыта вверх. Вычислим координаты вершины. Вершина параболы находится в точке: \[ x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} \] Подставляем значение \( x = \frac{5}{2} \) в функцию для нахождения минимума: \[ y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = -\frac{1}{4} \] Таким образом, множество значений функции будет \( R = \left[-\frac{1}{4}, +\infty\right) \).

   Нули функции: Найдем нули уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] Поскольку дискриминант положителен, у уравнения два решения: \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{D}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{D}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \] Значит, нули функции находятся в точках \( x = 2 \) и \( x = 3 \).

   Промежутки знаков постоянства: Парабола растет на промежутке \( (-\infty, 2) \), достигает минимума в точке \( x = \frac{5}{2} \) и затем начинает расти на промежутке \( (2, +\infty) \).

Итог:

• Для линейной функции \( y = 3x - 5 \):

  • Область определения: \( D = (-\infty, +\infty) \)
  • Множество значений: \( R = (-\infty, +\infty) \)
  • Ноль функции: \( x = \frac{5}{3} \)
  • Промежутки знаков постоянства: функция возрастает на всём своём определении.

• Для квадратной функции \( y = x^2 - 5x + 6 \):

  • Область определения: \( D = (-\infty, +\infty) \)
  • Множество значений: \( R = \left[-\frac{1}{4}, +\infty\right) \)
  • Нули функции: \( x = 2 \) и \( x = 3 \)
  • Промежутки знаков постоянства: функция убывает на \( (-\infty, 2) \), принимает минимум в \( x = \frac{5}{2} \), а затем возрастает на \( (2, +\infty) \).

Если вам нужны графики функций или дополнительная информация, дайте знать!