Найдите область определения выражения x^2-25\ 7+x+x^2 все в корне

Чтобы найти область определения выражения \(\sqrt{x^2 - 25} + \sqrt{7 + x + x^2}\), необходимо уяснить, при каких значениях \(x\) оба корня определены.

1. Первый корень: \(\sqrt{x^2 - 25}\)
   Этот корень определён, когда под корнем неотрицательно: \[ x^2 - 25 \geq 0 \] Это неравенство можно решить следующим образом: \[ x^2 \geq 25 \]

Из этого следует, что: \[ x \leq -5 \quad \text{или} \quad x \geq 5 \]

2. Второй корень: \(\sqrt{7 + x + x^2}\)
   Этот корень определён, когда под корнем также неотрицательно: \[ 7 + x + x^2 \geq 0 \] Приведём это неравенство к стандартному виду: \[ x^2 + x + 7 \geq 0 \]

Чтобы выяснить, имеет ли квадратный трёхчлен корни, найдём его дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27 \] Так как дискриминант отрицательный, квадратный трёхчлен \(x^2 + x + 7\) не имеет корней и всегда положителен для всех \(x\).

3. Объединение условий.
   Теперь у нас есть два условия:

• \(x \leq -5\) или \(x \geq 5\) для первого корня,
• Второй корень определён для любых \(x\).

Таким образом, область определения всего выражения будет: \[ (-\infty, -5] \cup [5, +\infty) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этому материалу или хотите разобраться в других темах, не стесняйтесь задавать!