Дан квадрат ABCD, точка O пересечение деогоналей AC и BC 1) найдите угол между векторами AB и AC

Чтобы найти угол между векторами AB и AC в квадрате ABCD, мы сначала определим координаты точек. Рассмотрим квадрат, расположенный в координатной плоскости следующим образом:

• A(0, 0)
• B(1, 0)
• C(1, 1)
• D(0, 1)

Теперь найдем координаты векторов AB и AC:

1. Вектор AB равен B - A: \[ AB = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0) \]

2. Вектор AC равен C - A: \[ AC = (1, 1) - (0, 0) = (1, 1) \]

Теперь мы можем использовать скалярное произведение векторов для нахождения угла между ними. Скалярное произведение v1 и v2 определяется формулой:

\[ v1 \cdot v2 = |v1| \cdot |v2| \cdot \cos(\theta) \]

где \(\theta\) – угол между векторами.

Сначала найдем длину векторов AB и AC.

• Длина вектора AB: \[ |AB| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \]

• Длина вектора AC: \[ |AC| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и AC:

\[ AB \cdot AC = (1, 0) \cdot (1, 1) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 \]

Теперь подставим найденные значения в формулу для скалярного произведения:

\[ 1 = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\theta) \]

Отсюда мы получаем:

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \frac{\pi}{4} \text{ или } 45^\circ \]

Таким образом, угол между векторами AB и AC равен 45 градусам.