Даны векторы a (2√3;√13)и b (-2√3;√13) найдите косинус угла между ними

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), мы можем воспользоваться формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины векторов.

1. Вычислим скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} = (2\sqrt{3}, \sqrt{13}), \quad \mathbf{b} = (-2\sqrt{3}, \sqrt{13}) \]

Скалярное произведение:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2\sqrt{3})(-2\sqrt{3}) + (\sqrt{13})(\sqrt{13}) = -12 + 13 = 1 \]

2. Вычислим длину векторов \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \):

Длина вектора \( \mathbf{a} \):

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{12 + 13} = \sqrt{25} = 5 \]

Длина вектора \( \mathbf{b} \):

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{12 + 13} = \sqrt{25} = 5 \]

3. Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{5 \cdot 5} = \frac{1}{25} \]

Таким образом, косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( \frac{1}{25} \).