Даны векторы а (2√3 ;√13) и b (-2√3;√13) найдите косинус угла между ними .

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами \( \mathbf{a} = (2\sqrt{3}, \sqrt{13}) \) и \( \mathbf{b} = (-2\sqrt{3}, \sqrt{13}) \), мы можем воспользоваться формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — их длины.

1. Сначала найдем скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2\sqrt{3}) \cdot (-2\sqrt{3}) + (\sqrt{13}) \cdot (\sqrt{13}) = -4 \cdot 3 + 13 = -12 + 13 = 1 \]

2. Теперь найдем длины векторов \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \):

Для вектора \( \mathbf{a} \):

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{12 + 13} = \sqrt{25} = 5 \]

Для вектора \( \mathbf{b} \):

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{12 + 13} = \sqrt{25} = 5 \]

3. Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{5 \cdot 5} = \frac{1}{25} \]

Таким образом, косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( \frac{1}{25} \).