(m+n)^2/2≤m^2+n^2

Рассмотрим неравенство \((m+n)^2/2 \leq m^2 + n^2\).

Чтобы лучше понять это неравенство, давайте преобразуем его.

1. Начнем с левой части:

\[ \frac{(m+n)^2}{2} \]

Раскроем скобки:

\[ (m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \]

Тогда левая часть становится:

\[ \frac{m^2 + 2mn + n^2}{2} = \frac{m^2}{2} + mn + \frac{n^2}{2} \]

2. Теперь сравним эту выражение с правой частью, которая равна \(m^2 + n^2\).

Итак, неравенство теперь выглядит так:

\[ \frac{m^2}{2} + mn + \frac{n^2}{2} \leq m^2 + n^2 \]

3. Упростим правую часть:

\[ m^2 + n^2 = \frac{2m^2}{2} + \frac{2n^2}{2} = \frac{2m^2 + 2n^2}{2} \]

4. Подставим это в наше неравенство:

\[ \frac{m^2}{2} + mn + \frac{n^2}{2} \leq \frac{2m^2 + 2n^2}{2} \]

5. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ m^2 + 2mn + n^2 \leq 2m^2 + 2n^2 \]

6. Упростим это:

\[ m^2 + 2mn + n^2 \leq 2m^2 + 2n^2 \]

Перемещаем все на левую сторону:

\[ 0 \leq 2m^2 + 2n^2 - m^2 - 2mn - n^2 \]

7. Это упрощается до:

\[ 0 \leq m^2 - 2mn + n^2 \]

8. Заметим, что \(m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2\).

Поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным, мы имеем:

\[ (m-n)^2 \geq 0 \]

Таким образом, неравенство \((m+n)^2/2 \leq m^2 + n^2\) всегда верно для любых действительных чисел \(m\) и \(n\).

Если у вас есть ещё вопросы или требуется больший анализ, не стесняйтесь спрашивать!