Пираты хотят провести соревнование по метанию ножей. Для этого используются квадратные щиты размером N×N . У мишени должны быть квадратные кольца, цвета которых чередуются: белый центр, затем чёрное кольцо, следом белое кольцо и т.д. Каждое кольцо имеет ширину в 1 клетку. На рисунке ниже изображена центральная часть щита. Одна мишень упала за борт, и вся чёрная краска смылась. Чтобы купить необходимое количество чёрной краски для восстановления мишени, нужно посчитать количество клеток 1×1 , которые потребуется закрасить. К сожалению, у всех пиратов плохо с арифметикой. Помогите им и определите, сколько клеток всего нужно закрасить, чтобы восстановить мишень. При N=11 : При N=19 :
Давайте разберем задачу по шагам.
Кольца на мишени имеют чередующийся цвет, начиная с белого центра. Для определения количества клеток, которые нужно закрасить черным цветом, необходимо понять, сколько черных колец содержится в квадрате размером \(N \times N\).
Определение количества колец: Центральное белое кольцо имеет размер \(1 \times 1\), затем идет черное кольцо размером \(3 \times 3\), следующее белое кольцо \(5 \times 5\) и так далее. Каждое кольцо добавляет по 2 к размеру квадрата.
Количество серий колец: Если \(N\) — это размер стороны квадрата, то количество колец \(k\) можно определить по формуле:
- Если \(N\) нечётное: \(k = \frac{N + 1}{2}\)
- Если \(N\) чётное: \(k = \frac{N}{2}\)
В данном случае \(N\) всегда нечётное, так что мы будем использовать первую формулу.
Определение количества черных клеток: Начиная с первого кольца, черные кольца будут находиться на следующих размерах: \(3 \times 3\), \(7 \times 7\), \(11 \times 11\) и так далее, до полного размера \(N \times N\).
Количество черных клеток можно найти следующим образом:
- Для кольца размером \(3 \times 3\) — клетки: \(3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8\)
- Для кольца размером \(7 \times 7\) — клетки: \(7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24\)
- Для кольца размером \(11 \times 11\) — клетки: \(11^2 - 9^2 = 121 - 81 = 40\)
- Для кольца размером \(15 \times 15\) — клетки: \(15^2 - 13^2 = 225 - 169 = 56\)
- Для кольца размером \(19 \times 19\) — клетки: \(19^2 - 17^2 = 361 - 289 = 72\)
Таким образом, когда мы суммируем черные клетки для всех черных колец, учитывая \(N = 11\) и \(N = 19\):
- Для \(N = 11\): \(8 + 24 + 40 = 72\)
- Для \(N = 19\): \(8 + 24 + 40 + 56 + 72 = 200\)
Результаты:
- Для \(N = 11\) нужно накрасить 72 клетки черной краской.
- Для \(N = 19\) нужно накрасить 200 клеток черной краской.
Таким образом, пиратам потребуется 72 клетки для мишени размером \(11 \times 11\) и 200 клеток для мишени размером \(19 \times 19\). Надеюсь, это объяснение было полезным!
