6) Шестеро друзей, среди которых есть Таня и Дима, случайным образом рассаживаются на скамейку. Какова вероятность того, что Таня и Дима будут сидеть рядом?

Для того чтобы решить задачу о вероятности того, что Таня и Дима будут сидеть рядом, начнём с определения общего количества способов рассадить шестерых друзей на скамейке.

Общее количество способов рассадить 6 человек на скамейке можно вычислить с помощью факториала: \[ 6! = 720. \]

Теперь рассчитаем количество способов, при которых Таня и Дима сидят рядом. Мы можем рассматривать Таню и Диму как одну единицу или "команду". Таким образом, у нас получится:

1. "Команда" Таня-Дима + остальные 4 друга = 5 единиц для рассадки.

Количество способов рассадить эти 5 единиц: \[ 5! = 120. \]

2. Таня и Дима могут сами поменяться местами, то есть у нас есть 2 способа расположения внутри "команды": \[ 2! = 2. \]

Теперь, чтобы найти общее количество способов, когда Таня и Дима сидят рядом, мы умножим количество способов рассадки 5 единиц на количество способов их расположения внутри "команды": \[ 5! \times 2 = 120 \times 2 = 240. \]

Теперь, чтобы найти вероятность того, что Таня и Дима будут сидеть рядом, нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов: \[ P = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}. \]

Таким образом, вероятность того, что Таня и Дима будут сидеть рядом, равна \(\frac{1}{3}\).