Площадь прямоугольного треугольника равна 65. Один из его катетов на 3 больше другого. Найдите на меньший катет

Чтобы найти меньший катет прямоугольного треугольника, давайте обозначим его как \(x\). Тогда больший катет, согласно условию задачи, будет равен \(x + 3\).

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

где \(a\) и \(b\) — это длины катетов. В нашем случае:

\[ S = 65, \] \[ a = x, \] \[ b = x + 3. \]

Подставляем известные значения в формулу для площади:

\[ 65 = \frac{1}{2} \times x \times (x + 3). \]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 130 = x(x + 3). \]

Раскроем скобки:

\[ 130 = x^2 + 3x. \]

Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:

\[ x^2 + 3x - 130 = 0. \]

Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта. Найдем дискриминант \(D\):

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529. \]

Теперь мы можем найти корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1}. \]

Вычислим \(\sqrt{529} = 23\):

\[ x = \frac{-3 \pm 23}{2}. \]

Это дает нам два возможных значения:

1. \(x = \frac{20}{2} = 10\),
2. \(x = \frac{-26}{2} = -13\).

Так как длина катета не может быть отрицательной, остаётся только положительное значение:

Меньший катет равен \(10\).

Ответ: меньший катет равен \(10\).