Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначения необходимых величин.
Пусть ( a ) и ( b ) — катеты, а основание равностороннего треугольника будет ( c ). Из условия задачи знаем, что:
[
c = a + b - 2 \quad (1)
]
Также известно, что периметр треугольника равен 50 см. Периметр равностороннего треугольника можно выразить как сумму всех его сторон:
[
a + b + c = 50 \quad (2)
]
Теперь можно подставить (1) в (2):
[
a + b + (a + b - 2) = 50
]
Упрощая, получаем:
[
2a + 2b - 2 = 50
]
[
2a + 2b = 52
]
[
a + b = 26 \quad (3)
]
Теперь мы знаем, что сумма катетов равна 26. Подставим это значение в уравнение (1):
[
c = 26 - 2 = 24 \quad (4)
]
Теперь мы имеем полный набор сторон: ( a + b = 26 ) и ( c = 24 ).
Согласно формуле для длины медианы ( m ), проведенной к основанию ( c ), она определяется как:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}
]
Из уравнения (3) и подстановки ( c ) (из (4)), ( a + b = 26 ) можно выразить как:
[
b = 26 - a
]
Теперь можем подставить это в формулу для медианы. Сначала нужно найти ( a^2 + b^2 ):
[
b^2 = (26 - a)^2 = 676 - 52a + a^2
]
Тогда:
[
a^2 + b^2 = a^2 + (676 - 52a + a^2) = 2a^2 - 52a + 676
]
Теперь подставим в формулу для медианы:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2(2a^2 - 52a + 676) - 24^2}
]
Вычислим ( 24^2 = 576 ), и подставим:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{4a^2 - 104a + 1352 - 576}
]
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{4a^2 - 104a + 776}
]
Теперь получите непосредственно длину медианы. Выбор конкретных значений ( a ) и ( b ) может зависеть от дальнейших условий, таких как заданные значения для катетов, но это поможет вам завершить расчет.
Как итог, знайте, что для нахождения длины медианы необходимо подставить конкретные значения катетов и завершить вывод.
