Решите неравенство: 12(х-10)(х+4)>0

Чтобы решить неравенство \( 12(x-10)(x+4) > 0 \), начнем с упрощения:

1. Найдем корни уравнения \( 12(x-10)(x+4) = 0 \). Это значит, что нужно найти \( x-10 = 0 \) и \( x+4 = 0 \).
   • \( x - 10 = 0 \) даёт \( x = 10 \).
   • \( x + 4 = 0 \) даёт \( x = -4 \).

Таким образом, корни уравнения: \( x = -4 \) и \( x = 10 \).

2. Построим числовую прямую и разместим на ней найденные корни: \[ -4 \quad \quad 10 \]

3. Теперь мы определим знаки выражения \( 12(x-10)(x+4) \) в промежутках, которые образуются между корнями:

   • \( (-\infty, -4) \)
   • \( (-4, 10) \)
   • \( (10, +\infty) \)

4. Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство:

   • Для интервала \( (-\infty, -4) \), например \( x = -5 \): \[ 12(-5-10)(-5+4) = 12(-15)(-1) = 180 > 0 \quad (\text{истинно}) \]

   • Для интервала \( (-4, 10) \), например \( x = 0 \): \[ 12(0-10)(0+4) = 12(-10)(4) = -480 < 0 \quad (\text{ложно}) \]

   • Для интервала \( (10, +\infty) \), например \( x = 11 \): \[ 12(11-10)(11+4) = 12(1)(15) = 180 > 0 \quad (\text{истинно}) \]

5. Соберем результаты:

   • Знак неравенства \( 12(x-10)(x+4) > 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (10, +\infty) \).

6. Учитывая, что в неравенстве стоит "больше нуля" ("> 0"), корни \( x = -4 \) и \( x = 10 \) не входят в окончательный ответ, так как неравенство не выполняется в этих точках.

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -4) \cup (10, +\infty) \]