В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания равен 120 град. найдите площадь треугольника. Реши задачу с рисунком, дано,найти и решением
Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, где боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120 градусов, мы можем использовать формулу площади через основание и высоту или использовать трigonometric функции. Давайте сначала нарисуем треугольник и обозначим все известные величины.
Дано:
- Боковая сторона \( AB = AC = 10 \)
- Угол \( A = 120^\circ \)
Найти:
- Площадь треугольника \( S \)
Рисунок:
- Нарисуйте треугольник \( ABC \), где \( AB = AC = 10 \), угол \( A = 120^\circ \).
- Обозначьте основание \( BC \).
Шаг 1: Найдем длину основания \( BC \)
Можно использовать закон косинусов для нахождения стороны \( BC \): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] где:
- \( c \) — сторона \( BC \) (которую мы хотим найти),
- \( a = 10 \) — сторона \( AB \),
- \( b = 10 \) — сторона \( AC \),
- \( C = 120^\circ \).
Подставляем: \[ BC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) \]
Значение \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), следовательно: \[ BC^2 = 100 + 100 + 100 = 300 \] \[ BC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \]
Шаг 2: Находим высоту \( h \)
Используем синус для нахождения высоты, проведенной из вершины \( A \) к линии \( BC \): \[ h = AB \cdot \sin(A) = 10 \cdot \sin(120^\circ) \] Значение \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ h = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \]
Шаг 3: Находим площадь треугольника
Площадь \( S \) треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 \cdot 3 = 75 \]
Ответ:
Площадь треугольника составляет \( 75 \) квадратных единиц.
