1. В треугольнике АВС угол А равен 60, угол В равен 45, BC = 5sqrt(6) Найдите АС. C
В треугольнике ABC даны угол A = 60°, угол B = 45° и сторона BC = 5√6. Нам необходимо найти сторону AC.
Сначала найдем угол C: \[ C = 180° - A - B = 180° - 60° - 45° = 75°. \]
Теперь мы можем использовать закон синусов, который гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла остаётся постоянным: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}, \] где:
- \(a = BC\),
- \(b = AC\),
- \(c = AB\).
Подставим известные значения в закон синусов: \[ \frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AC}{\sin(B)}. \]
Нам известны:
- \( BC = 5\sqrt{6} \),
- \( A = 60° \), значит \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \),
- \( B = 45° \), значит \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Подставляем в равенство: \[ \frac{5\sqrt{6}}{\sin(60°)} = \frac{AC}{\sin(45°)}. \]
Теперь подставим значения синусов: \[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]
Упростим первую часть: \[ \frac{5\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{AC \cdot 2}{\sqrt{2}}. \]
Итак, получаем: \[ \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}. \]
Упростим \(\frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\): \[ \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{2} \quad (\text{так как } \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}). \]
Теперь выравниваем уравнение: \[ 10\sqrt{2} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}. \]
Умножим обе стороны на \(\sqrt{2}\): \[ 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = AC \cdot 2. \] \[ 20 = AC \cdot 2. \]
Теперь разделим обе стороны на 2: \[ AC = 10. \]
Таким образом, длина стороны AC равна 10.
