5. В ресторане посетителю на выбор предлагают 8 видов горячего и 5 видов салата. Сколькими способами он может выбрать из них 3 горячих и 2 салата?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу расчета сочетаний, так как порядок выбора не имеет значения.

1. Для выбора 3 горячих блюд из 8 доступных, мы используем формулу сочетаний \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \( n \) — общее количество предметов (в нашем случае 8 горячих блюд), а \( k \) — количество выбираемых предметов (в нашем случае 3).

   Таким образом, количество способов выбрать 3 горячих блюда из 8:

   \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \]

2. Теперь переходим к салатам. Мы выбираем 2 салата из 5 доступных. Используем ту же формулу сочетаний:

   \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

3. Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать 3 горячих блюда и 2 салата, мы просто умножим количество способов выбора горячих блюд на количество способов выбора салатов:

   \[ 56 \cdot 10 = 560 \]

Таким образом, посетитель может выбрать 3 горячих блюда и 2 салата 560 способами.