3+|х²-2х-3|<3х

Чтобы решить неравенство 3 + |x² - 2x - 3| < 3x, давайте сначала упростим его.

1. Отнимем 3 от обеих сторон неравенства: \[ |x² - 2x - 3| < 3x - 3. \]

2. Следующий шаг — это решить неравенство, учитывая, что модуль |a| имеет два случая: a ≥ 0 и a < 0.

Случай 1: x² - 2x - 3 ≥ 0

В этом случае модуль можно убрать, и у нас получается: \[ x² - 2x - 3 < 3x - 3. \] Преобразуем неравенство: \[ x² - 5x < 0. \]

Чтобы решить это неравенство, можно вынести x: \[ x(x - 5) < 0. \] Неравенство выполняется, когда x находится в интервале (0, 5).

Случай 2: x² - 2x - 3 < 0

В этом случае модуль меняет знак, и неравенство будет иметь вид: \[ -(x² - 2x - 3) < 3x - 3. \] Это упрощается до: \[ - x² + 2x + 3 < 3x - 3. \] Преобразуем: \[ -x² - x + 6 < 0, \] или \[ x² + x - 6 > 0. \] Теперь найдем корни квадратного уравнения x² + x - 6 = 0. Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}. \] Таким образом, корни равны: \[ x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -3. \] Неравенство x² + x - 6 > 0 выполняется вне интервалов, заданных корнями, то есть: x < -3 или x > 2.

Сводя оба случая:

1. В первом случае мы получили x ∈ (0, 5).
2. Во втором случае x < -3 или x > 2.

Теперь найдем общую область: Неравенства пересекаются. Мы имеем x ∈ (0, 5) и x > 2, что дает: x ∈ (2, 5).

Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (2, 5). \]

Если нужно дополнительное объяснение или разбор, не стесняйтесь задавать вопросы!