Найди сумму целых решений неравенств сумму целых решений неравенства 3+|х²-2х-3|<3х
Чтобы найти сумму целых решений неравенства \( 3 + |x^2 - 2x - 3| < 3x \), сначала разберем неравенство по частям.
Упростим неравенство: \[ |x^2 - 2x - 3| < 3x - 3 \]
Определим область определения правой части неравенства. Поскольку \( 3x - 3 > 0 \), это означает, что \( x > 1 \).
Теперь разберем сам модуль \( |x^2 - 2x - 3| \). Найдем, когда \( x^2 - 2x - 3 = 0 \): \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \] Таким образом, корни уравнения: \( x = 3 \) и \( x = -1 \).
Теперь рассмотрим три случая:
- Когда \( x < -1 \) (в этом интервале модуль будет равен \(-(x^2 - 2x - 3)\)).
- Когда \(-1 < x < 3\) (модуль будет равен \(x^2 - 2x - 3\)).
- Когда \( x \geq 3\) (модуль опять станет равен \(x^2 - 2x - 3\)).
Случай 1: \( x < -1 \)
Здесь не подходит, так как требуется \( x > 1 \).
Случай 2: \(-1 < x < 3\)
Также не подходит для нашего пределения, потому что мы ищем решения при \( x > 1 \).
Случай 3: \( x \geq 3\)
В этом случае модуль просто \( x^2 - 2x - 3 \):
\[
x^2 - 2x - 3 < 3x - 3
\]
Переносим все в одну сторону:
\[
x^2 - 5x < 0
\]
Факторизуем:
\[
x(x - 5) < 0
\]
Здесь у нас будет два решения: \( x < 0 \) и \( x > 5\). Но нам нужно только \( x > 3\).
Так, отсюда остаётся:
- \( 3 < x < 5 \)
Целые решения в этом интервале: \( x = 4 \).
Теперь находим сумму целых решений: \[ 4 \]
Таким образом, сумма целых решений данного неравенства равна \( 4 \).
