2cos²x+3cosx+1=0
Для решения уравнения \(2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0\) мы можем воспользоваться заменой переменной. Обозначим \(y = \cos x\). Таким образом, уравнение преобразуется в квадратное уравнение:
\[ 2y^2 + 3y + 1 = 0. \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \(a = 2\), \(b = 3\), и \(c = 1\).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1. \]
Теперь подставим значения в формулу корней:
\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}. \]
Это дает нам два значения:
- \( y_1 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \),
- \( y_2 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \).
Теперь нам нужно найти значения \(x\), используя \(\cos x = y\):
Для \(y_1 = -\frac{1}{2}\): \[ \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ или } x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Для \(y_2 = -1\): \[ \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Таким образом, обобщенное решение уравнения \(2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0\) будет:
\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
