Найти проекцию точки P(3;5;0) на плоскости x+y-2z+4=0

Чтобы найти проекцию точки \( P(3, 5, 0) \) на плоскость, заданную уравнением \( x + y - 2z + 4 = 0 \), следуем следующему алгоритму:

1. Запишите уравнение плоскости в общем виде: \( Ax + By + Cz + D = 0 \). В данном случае:

   • \( A = 1 \)
   • \( B = 1 \)
   • \( C = -2 \)
   • \( D = 4 \)

2. Найдите нормальный вектор плоскости \( \mathbf{n} = (A, B, C) = (1, 1, -2) \).

3. Запишите координаты точки \( P(3, 5, 0) \).

4. Определите любое направление от точки \( P \) к плоскости. Это можно сделать, используя нормальный вектор \( \mathbf{n} \). Направление от точки к плоскости можно представить в виде: \[ \mathbf{P'} = P + t \cdot \mathbf{n} = (3 + t, 5 + t, 0 - 2t) \] где \( t \) — параметр, который нам нужно определить.

5. Подставьте эти выражения в уравнение плоскости и найдите \( t \): \[ (3 + t) + (5 + t) - 2(0 - 2t) + 4 = 0 \] Упростим это уравнение: \[ 3 + t + 5 + t + 4 + 4t = 0 \] \[ 2t + 4t + 12 = 0 \] \[ 6t + 12 = 0 \] \[ 6t = -12 \implies t = -2 \]

6. Теперь подставьте значение \( t \) обратно, чтобы найти координаты проекции \( P' \): \[ P' = (3 - 2, 5 - 2, 0 + 4) = (1, 3, 4) \]

Таким образом, проекция точки \( P(3, 5, 0) \) на плоскость \( x + y - 2z + 4 = 0 \) равна точке \( P'(1, 3, 4) \).