найдите угол между векторами: 1) vec a =3 vec i -4 vec k и vec b =5 vec i -12 vec k ; 2) vec a = (- 2; 2; - 1) и vec b = (- 6; 3; 6) 3) vec a + vec b и vec a - vec b , если vec a…

Давайте решим каждую из задач последовательно!

1. Найдите угол между векторами

   • Векторы: \(\vec{a} = 3 \vec{i} - 4 \vec{k}\) и \(\vec{b} = 5 \vec{i} - 12 \vec{k}\).
   • Для начала найдем скалярное произведение векторов: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(5) + (0)(0) + (-4)(-12) = 15 + 0 + 48 = 63. \]
   • Также необходимо найти длины векторов: \[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5, \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 0 + 144} = \sqrt{169} = 13. \]
   • Теперь используем формулу для нахождения угла: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{63}{5 \cdot 13} = \frac{63}{65}. \]
   • Для нахождения угла \(\theta\): \[ \theta = \arccos\left(\frac{63}{65}\right). \]

2. Векторы:

   • \(\vec{a} = (-2; 2; -1)\) и \(\vec{b} = (-6; 3; 6)\).
   • Найдем скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(-6) + (2)(3) + (-1)(6) = 12 + 6 - 6 = 12. \]
   • Длины векторов: \[ |\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3, \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81} = 9. \]
   • Используем формулу для нахождения угла: \[ \cos(\theta) = \frac{12}{3 \cdot 9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}. \]
   • Найдем угол \(\theta\): \[ \theta = \arccos\left(\frac{4}{9}\right). \]

3. Векторы:

   • \(\vec{a} = (1; -1; 2)\) и \(\vec{b} = (0; 2; 1)\).
   • Сложение \(\vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{a} + \vec{b} = (1 + 0; -1 + 2; 2 + 1) = (1; 1; 3). \]
   • Вычитание \(\vec{a} - \vec{b}\): \[ \vec{a} - \vec{b} = (1 - 0; -1 - 2; 2 - 1) = (1; -3; 1). \]

Если у вас есть другие вопросы или нуждаетесь в разъяснениях, не стесняйтесь спрашивать!