найдите точку минимума y=7+12x-x^3

Для нахождения точки минимума функции \( y = 7 + 12x - x^3 \), следует выполнить несколько шагов.

1. Найдём производную функции. Производная функции \( y \) по \( x \) определяется как: \[ y' = \frac{d}{dx}(7 + 12x - x^3) = 12 - 3x^2 \]

2. Решим уравнение для нахождения критических точек. Критические точки находятся, когда производная равна нулю: \[ 12 - 3x^2 = 0 \] Отсюда: \[ 3x^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]

3. Определим, является ли каждая критическая точка минимумом или максимумом. Для этого используем вторую производную: \[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(7 + 12x - x^3) = -6x \] Теперь подставим найденные значения \( x \):

   • Для \( x = 2 \): \[ y''(2) = -6(2) = -12 \quad (\text{максимум}) \]
   • Для \( x = -2 \): \[ y''(-2) = -6(-2) = 12 \quad (\text{минимум}) \]

4. Подставим \( x = -2 \) в исходную функцию, чтобы найти значение \( y \): \[ y(-2) = 7 + 12(-2) - (-2)^3 = 7 - 24 + 8 = -9 \]

Таким образом, точка минимума функции \( y = 7 + 12x - x^3 \) находится в координатах \( (-2, -9) \).