Найти проекцию точки P(-4;7;5) на плоскости x-2y-z+5=0

Чтобы найти проекцию точки \( P(-4; 7; 5) \) на плоскость, заданную уравнением \( x - 2y - z + 5 = 0 \), мы будем использовать метод, основанный на нахождении перпендикулярной линии от точки до плоскости.

1. Определение нормали плоскости: Уравнение плоскости можно переписать в виде \( Ax + By + Cz + D = 0 \), где \( A = 1 \), \( B = -2 \), \( C = -1 \) и \( D = 5 \). Вектор нормали к плоскости будет \( \vec{n} = (1; -2; -1) \).

2. Выразим уравнение прямой, проходящей через точку P: Уравнение прямой, проходящей через точку \( P(-4; 7; 5) \) и направленной по нормали плоскости, можно записать в параметрической форме: \[ x = -4 + t, \quad y = 7 - 2t, \quad z = 5 - t, \] где \( t \) — параметр.

3. Поиск точки пересечения с плоскостью: Чтобы найти точку пересечения этой прямой с плоскостью, подставим параметры \( x, y, z \) в уравнение плоскости: \[ (-4 + t) - 2(7 - 2t) - (5 - t) + 5 = 0. \]

   Упростим это уравнение: \[ -4 + t - 14 + 4t - 5 + 5 + 5 = 0, \] \[ 5t - 14 = 0. \] Отсюда получаем: \[ 5t = 14 \implies t = \frac{14}{5}. \]

4. Подставим значение \( t \) обратно для нахождения координат проекции: Теперь подставим \( t = \frac{14}{5} \) в уравнения прямой: \[ x = -4 + \frac{14}{5} = -\frac{20}{5} + \frac{14}{5} = -\frac{6}{5}, \] \[ y = 7 - 2 \cdot \frac{14}{5} = 7 - \frac{28}{5} = \frac{35}{5} - \frac{28}{5} = \frac{7}{5}, \] \[ z = 5 - \frac{14}{5} = \frac{25}{5} - \frac{14}{5} = \frac{11}{5}. \]

5. Координаты проекции точки P на плоскость: Таким образом, проекция точки \( P(-4; 7; 5) \) на плоскость \( x - 2y - z + 5 = 0 \) имеет координаты: \[ P' \left(-\frac{6}{5}; \frac{7}{5}; \frac{11}{5}\right). \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или необходима помощь с другими темами, не стесняйтесь их задавать!