Решить методом Гаусса систему уравнений { 2x+y-z=3 x+y+z=2 x-2z=1 3x-y-9z=2

Чтобы решить систему уравнений методом Гаусса, нужно сначала записать её в виде расширенной матрицы. Давайте представим нашу систему:

\[ \begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x + y + z = 2 \\ x - 2z = 1 \\ 3x - y - 9z = 2 \end{cases} \]

Расширенная матрица будет выглядеть так:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 0 & -2 & | & 1 \\ 3 & -1 & -9 & | & 2 \end{pmatrix} \]

Теперь будем приводить её к ступенчатому виду. Начнём с первого столбца. Для этого преобразуем строки с помощью элементарных операций.

1. Сделаем так, чтобы первый элемент первого столбца стал единицей. Для этого можно заменить первую строку на \( \frac{1}{2} \times \text{первая строка} \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & \frac{3}{2} \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 0 & -2 & | & 1 \\ 3 & -1 & -9 & | & 2 \end{pmatrix} \]

2. Вычтем первую строку из второй, третьей и четвёртой строк:

Во второй строке: \( \text{вторая строка} - \text{первая строка} \):

\[ 1 - 1 = 0, \quad 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \quad 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, \quad 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]

Во третьей строке: \( \text{третья строка} - \text{первая строка} \):

\[ 1 - 1 = 0, \quad 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}, \quad -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}, \quad 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \]

В четвёртой строке: \( \text{четвёртая строка} - 3 \times \text{первая строка} \):

\[ 3 - 3 = 0, \quad -1 - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}, \quad -9 + \frac{3}{2} = -\frac{15}{2}, \quad 2 - \frac{9}{2} = -\frac{5}{2} \]

Теперь матрица выглядит так:

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & | & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{15}{2} & | & -\frac{5}{2} \end{pmatrix} \]

3. Умножим вторую строку на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & | & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{15}{2} & | & -\frac{5}{2} \end{pmatrix} \]

4. Теперь вычтем 1/2 * вторую строку из третьей и прибавим 5/2 * вторую строку к четвертой:

Для третьей строки: \[ 0 - 0 = 0, \quad -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1, \quad -\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = -3, \quad -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1 \] Для четвёртой строки: \[ 0 + 0 = 0, \quad -\frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 0, \quad -\frac{15}{2} + \frac{15}{2} = 0, \quad -\frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 0 \]

После этого матрица будет выглядеть так:

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \]

Теперь мы имеем две непротиворечивые строки и два нуля. Решение этой системы уравнений можно выразить в виде:

1. Из второй строки: \( y + 3z = 1 \) → \( y = 1 - 3z \)
2. Из первой строки: \( x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = \frac{3}{2} \)

Подставим \( y \):

\[ x + \frac{1}{2}(1 - 3z) - \frac{1}{2}z = \frac{3}{2} \] \[ x + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}z - \frac{1}{2}z = \frac{3}{2} \] \[ x - 2z = 1 \]

Таким образом, у нас есть множество решений, где \( z \) может принимать любое значение. Например, если приняты значения \( z = t \):

• \( y = 1 - 3t \)
• \( x = 1 + 2t \)

Формально, решение системы будет:

\[ (x, y, z) = (1 + 2t, 1 - 3t, t) \] где \( t \) – произвольное число.